Sinh ra ở Vương quốc Anh, Barnett bắt đầu chơi quần vợt từ năm 7 tuổi. Cô tham gia ITF Women's Circuit ở tuổi 16/17.[2]

Cô gia nhập Team Bath Tennis High-International Performance Academy khi 16 tuổi, thông qua chương trình Học nghề Thể dục và Thể thao Nâng cao (AASE) và kể từ đó đã trở lại đào tạo.[3] Người ta tin rằng Alicia đã đi du học và tốt nghiệp tại Đại học Northwestern ở Illinois vào năm 2017.[2][4]

Barnett ra mắt WTA Tour tại Lyon Open 2022, đánh cặp với Olivia Nicholls. Bộ đôi này tiến tới trận chung kết; màn trình diễn của họ trong suốt năm 2022 dẫn đến việc cả hai đại diện cho Đội tuyển Billie Jean King Cup Vương quốc Anh trong trận gặp Kazakhstan và Tây Ban Nha tại Billie Jean King Cup 2022.